Question

已知函數，

（1）求函數的單調區(qū)間；

（2）若方程有且只有一個解，求實數m的取值范圍；

（3）當且，時，若有，求證：.

 

Answer 1

【答案】

（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為和；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）對求導可得，令，或，由導數與單調性的關系可知，所以遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；

（2）若方程有解有解，則原問題轉化為求f（x）的值域，而m只要在f（x）的值域內即可，由（1）知，， 方程有且只有一個根，又的值域為，;

（3）由（1）和（2）及當，時，有，不妨設，

則有，，又，

即，同理，又，，且在上單調遞減，

，即.

試題解析：（1），令，即，解得，

令，即，解得，或，

的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為和. 4分

（2）由（1）知，， 6分

方程有且只有一個根，又的值域為，由圖象知

8分

（3）由（1）和（2）及當，時，有，不妨設，

則有，，又，

即， 11分

，又，，且在上單調遞減，

，即. 13分

考點：1.導數在函數單調性上的應用；2. 導數與函數最值.