Question

14．（1）計算$\frac{1-i}{{{{（1+i）}^2}}}+\frac{1+i}{{{{（1-i）}^2}}}$
（2）求中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，并且經(jīng)過點P（3，$\frac{15}{4}$）和Q（$\frac{16}{3}$，5）的雙曲線方程．

Answer 1

分析 （1）直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案；
（2）由題意設(shè)出雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{n}=1$，代入兩點的坐標(biāo)，聯(lián)立方程組求得m，n的值得答案．

解答 解：（1）$\frac{1-i}{{{{（1+i）}^2}}}+\frac{1+i}{{{{（1-i）}^2}}}$=$\frac{1-i}{2i}+\frac{1+i}{-2i}$=$\frac{（1-i）（-i）}{-2{i}^{2}}+\frac{（1+i）i}{-2{i}^{2}}=\frac{-1-i-1+i}{2}=-1$；  
 （2）由題意設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{n}=1$，
∵雙曲線經(jīng)過點P（3，$\frac{15}{4}$）和Q（$\frac{16}{3}$，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{m}-\frac{225}{16n}=1}\\{\frac{256}{9m}-\frac{25}{n}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-16}\\{n=-9}\end{array}\right.$．
∴雙曲線方程為：$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1$．

點評 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查雙曲線方程的求法，是基礎(chǔ)題．