Question

12．已知y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=x²-2x．
（1）畫出f（x）的簡圖，并求f（x）的解析式；
（2）利用圖象討論方程f（x）=k的根的情況．（只需寫出結果，不要解答過程）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=x²-2x．求出f（x）的解析式．作圖．
（2）根據(jù)函數(shù)圖象與函數(shù)y=k的交點，即可判斷根的情況．

解答 解：（1）由題意：函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），當x=0時，有f（0）=0．
當x＞0時，f（x）=x²-2x，
當x＜0時，則-x＞0，
那么：f（-x）=x²+2x，
∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-x²-2x
f（x）是定義在R上的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，（x＞0）}\\{0，（x=0）}\\{-{x}^{2}-2x，（x＜0）}\end{array}\right.$
（簡圖（如右圖） 
（2）根據(jù)圖象：當k=±1時，有2個實數(shù)根，
當-1＜k＜1時，有3個實數(shù)根，
當k＞1或k＜-1時，方程有1個實根．

點評 本題考查了分段函數(shù)的解析式的求法．數(shù)形結合法判斷根的個數(shù)問題．屬于基礎題．