Question

已知常數(shù)a0，向量c0，a，i1，0，經(jīng)過原點O以cli為方向向量的直線與經(jīng)過定點A0，a以i2lc為方向向量的直線相交于點P，其中lÎR．試問：是否存在兩個定點E、F，使得|PE||PF|為定值．若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：概據(jù)題設條件，首先求出點P的坐標滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點的距離的和為定值． ∵ i=(1，0)，c=(0，a)，  ∴ c+li=(l，a)，i-2lc=(1，-2la)．因此，直線OP和AP的方程分別為ly=ax和y-a=-2lax． 消去參數(shù)l，得點P(x，y)的坐標滿足方程y(y-a)=-2a2x2，整理得 ，                            ① 因為a>0，所以得： （1）當時，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F； （2）當時，方程①表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點； （3）當時，方程①表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點

提示：

本小題主要考查平面向量的概念和計算，求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力