Question

已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2x+

a

2x

，a為常數(shù)．
（1）如果f（x）滿足f（-x）=f（x），求a的值；
（2）當(dāng)f（x）滿足（1）時(shí)，用單調(diào)性定義判斷f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，并猜想f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性（不必證明）

Answer 1

分析：（1）利用條件f（-x）=f（x），建立方程即可求a的值；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，并猜想f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=2x+

a

2x

，f（-x）=f（x），
∴f（-x）=2-x+

a

2-x

=2x+

a

2x

，
整理得（a-1）（2^x-2^-x）=0
即a-1=0，解得a=1．
（2）∵a=1，∴f(x)=2x+

a

2x

=2x+

1

2x

．
設(shè)0≤x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=2x1+

1

2x1

-2x2-

1

2x2

=2x1-2x2+

2x2-2x1

2x12x2

=(2x1-2x2)(1-

1

2x12x2

)=(2x1-2x2)

2x1?2x2-1

2x1?2x2

，
∵0≤x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，2x1?2x2-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)遞增．
由（1）知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性遞減．

點(diǎn)評：本題主要考查奇偶性的應(yīng)用以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．