Question

三角形ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，∠B=

π

3

，b=4，acos²

C

2

+ccos²

A

2

=6，S_△ABC=

 

．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：利用正弦定理以及二倍角的余弦函數(shù)以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡方程，通過正弦定理求得a+c=2b=8，兩邊平方后由余弦定理可求ac，代入三角形面積公式即可求值．

解答： 解：∵由已知可得：acos²

C

2

+ccos²

A

2

=

3b

2

，
∴sinA

1+cosC

2

+sinC

1+cosA

2

=

3sinB

2

，
即：sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB，
∴sinA+sinC+sin（C+A）=3sinB，
即sinA+sinC=2sinB．
∴a+c=2b=8．
∴兩邊平方可得：a²+c²=64-2ac．
∴由余弦定理可得：cosB=

1

2

=

a2+c2-b2

2ac

=

64-2ac-16

2ac

=

48-2ac

2ac

，整理可解得：ac=16．
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×16×sin

π

3

=4

3

．
故答案為：4

3

．

點評：本題考查正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)，余弦定理，三角形面積公式，二倍角公式的應用，考查計算能力，綜合性較強，屬于中檔題．