Question

（2009•臨沂一模）下面四個(gè)命題：
①把函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

3

個(gè)單位，得到y(tǒng)=3sin2x的圖象；
②函數(shù)f（x）=ax²-lnx的圖象在x=1處的切線平行于直線y=x，則（

2

2

，+∞）是f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
③正方體的內(nèi)切球與其外接球的表面積之比為1：3；
④“a=2”是“直線ax+2y=0平行于直線x+y=1”的充分不必要條件．
其中所有正確命題的序號(hào)為

②③

．

Answer 1

分析：①利用三角函數(shù)的平移變換即可判斷出；
②利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出；
③利用正方體的內(nèi)切球、外接球的半徑與正方體的半徑之間的關(guān)系即可得出；
④利用斜率存在的兩條直線平行的充要條件即可得出．

解答：解：①把函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

3

個(gè)單位得到y(tǒng)=3sin[2(x-

π

3

)+

π

3

]=3sin(2x-

π

3

)的圖象，而得不到函數(shù)y=3sin2x的圖象，因此不正確；
②∵函數(shù)f（x）=ax²-lnx的圖象在x=1處的切線平行于直線y=x，∴f′(1)=(2ax-

1

x

)|x=1=1，解得a=1，
∴f′(x)=2x-

1

x

=

2x2-1

x

，（x＞0），令f^′（x）=0，解得x=

2

2

，當(dāng)x＞

2

2

時(shí)，f^′（x）＞0，∴（

2

2

，+∞）是f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，因此正確；
③不妨設(shè)此正方體的棱長為2，則其內(nèi)切球與外接球的半徑分別為1，

3

，故其內(nèi)切球與其外接球的表面積之比=

4π×12

4π×( 3 )2

=

1

3

，因此正確；
④∵“a=2”?“直線ax+2y=0平行于直線x+y=1”，∴“a=2”是“直線ax+2y=0平行于直線x+y=1”的充分必要條件．故④不正確．
綜上可知：只有②③正確．
故答案為②③．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角函數(shù)的平移變換、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、正方體的內(nèi)切球、外接球的半徑與正方體的半徑之間的關(guān)系及斜率存在的兩條直線平行的充要條件，熟練以上知識(shí)與方法是解題的關(guān)鍵．