已知函數(shù)f(x)=alnx+
12
x2+(a+1)x+1

(Ⅰ)當a=-1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
分析:(I)當a=-1時,f(x)=-lnx+
1
2
x2+1
,從而得到f'(x)=-
1
x
+x
=0的根為x=1,然后在(0,1)和(1,+∞)上分別討論的正負,即可得到函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(1,+∞);
(II)將函數(shù)f(x)求導數(shù),得f'(x)=
(x+1)(x+a)
x
,結(jié)合函數(shù)的定義域(0,+∞)可得x>0且x+1>0,從而x+a>0在(0,+∞)上恒成立,所以實數(shù)a的取值范圍是[0,+∞).
解答:解:(I)當a=-1時,函數(shù)f(x)=-lnx+
1
2
x2+1
,
∴f'(x)=-
1
x
+x
=
(x+1)(x-1)
x

∵函數(shù)的定義域為(0,+∞),可得當x∈(1,+∞)時f'(x)>0
∴函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(1,+∞)
(II)∵f(x)=alnx+
1
2
x2+(a+1)x+1

∴f'(x)=
a
x
+x+a+1
=
(x+1)(x+a)
x

∵函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)上是增函數(shù),
∴f'(x)=
(x+1)(x+a)
x
>0在(0,+∞)上恒成立
由x>0且x+1>0,可得x+a>0在(0,+∞)上恒成立
∴a≥0,即實數(shù)a的取值范圍是[0,+∞).
點評:本題給出含有字母參數(shù)的基本初等函數(shù),討論了函數(shù)的單調(diào)性,著重考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)恒成立等知識點,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
(3)當f(x)為奇函數(shù)時,求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經(jīng)過點Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標系中畫出函數(shù)f(x)的大致圖象;
(2)求函數(shù)f(t)-9的零點;
(3)設q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數(shù),則a=( 。
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實數(shù)a的值;
(III)設g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調(diào)性的情況,并證明你的結(jié)論.

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