已知函數(shù)f(x)=alnx+
12
x2+(a+1)x+1．
（Ⅰ）當a=-1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
分析：（I）當a=-1時，f(x)=-lnx+
1
2
x2+1，從而得到f'（x）=-
1
x
+x=0的根為x=1，然后在（0，1）和（1，+∞）上分別討論的正負，即可得到函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（1，+∞）；
（II）將函數(shù)f（x）求導數(shù)，得f'（x）=
(x+1)(x+a)
x
，結(jié)合函數(shù)的定義域（0，+∞）可得x＞0且x+1＞0，從而x+a＞0在（0，+∞）上恒成立，所以實數(shù)a的取值范圍是[0，+∞）．
解答：解：（I）當a=-1時，函數(shù)f(x)=-lnx+
1
2
x2+1，
∴f'（x）=-
1
x
+x=
(x+1)(x-1)
x
，
∵函數(shù)的定義域為（0，+∞），可得當x∈（1，+∞）時f'（x）＞0
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（1，+∞）
（II）∵f(x)=alnx+
1
2
x2+(a+1)x+1，
∴f'（x）=
a
x
+x+a+1=
(x+1)(x+a)
x

∵函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f'（x）=
(x+1)(x+a)
x
＞0在（0，+∞）上恒成立
由x＞0且x+1＞0，可得x+a＞0在（0，+∞）上恒成立
∴a≥0，即實數(shù)a的取值范圍是[0，+∞）．
點評：本題給出含有字母參數(shù)的基本初等函數(shù)，討論了函數(shù)的單調(diào)性，著重考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)恒成立等知識點，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點；
（3）設q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（III）設g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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