Question

已知數(shù)列a_n的各項(xiàng)都為正數(shù)，a₁=1，前n項(xiàng)和S_n滿足（n≥2）．
（Ⅰ）求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令（n∈N^*），數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和為T_n，若a_n+1≥λT_n對(duì)任意正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）有數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和S_n滿足（n≥2）⇒，先求出S_n，在求出數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式；
（II）有（I）得到a_n又有（n∈N^*），得到數(shù)列b_n的通項(xiàng)公式，再利用求和方法的其前n項(xiàng)和然后解不等式．
解答：解：（Ⅰ）∵，
∴，
又∵a_n＞0，∴，∴（n≥2），
∴數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為1，
∴，∴S_n=n²
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；
又a₁=1，∴數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式為a_n=2n-1．
（Ⅱ），
∴．
由a_n+1≥λT_n得對(duì)任意正整數(shù)n都成立，
∴（2n+1）²≥λn，
∴．
令，則，
∴f（x）在[1，+∞）上遞增，
∴對(duì)任意正整數(shù)n，的最小值為5，∴λ≤9．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了已知數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和S_n，求數(shù)列的通項(xiàng)還考查了裂項(xiàng)相消求數(shù)列的和及不等式恒成立．