Question

以下命題正確的個數為（ ）
①若a²+b²=8，則ab的最大值為4；
②若a＞0，b＞0，且a+b=4，則的最小值為1；
③若x∈R，則x+的最小值為6；
④若x＞0，y＞0，且4x+y=1，則xy的最大值為．
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：根據ab≤推斷①正確；
利用 +=展開后根據均值不等式求得 +的最小值判斷出②正確；
根據x∈R，不能保證x-2為正數，判斷③不正確；
對于④變形為4x與y的乘積，利用 基本不等式求最大值，推斷④不正確．
解答：解：由①知，a²+b²=8，
∴ab≤=4成立（當且僅當a=b=2或a=b=-2時，取等號），故①正確．
由②知，a+b=4，∴+=1．
∴+==+++
≥+2 =+=1（當且僅當a=b=2時取等號），故③正確．
由③x∈R，不能保證x-2為正數，此函數沒有最小值，判斷③不正確；
④：，當且僅當4x=y=時取等號．
則xy的最大值為：．故④不正確．
故正確的有①②．
故選B．
點評：本題主要考查了基本不等式在求最值問題的應用．要特別留意基本不等式中等號成立的條件．