Question

已知a+b+c=

1

a

+

1

b

+

1

c

=1，求證a、b、c中至少有一個等于1．

Answer 1

證明：本題即要證明 a-1、b-1、c-1中至少有一個為零．
∵a+b+c=

1

a

+

1

b

+

1

c

=1，∴（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）=1，
∴（a+b+c）（ab+ac+bc）-abc=0，∴（a+b+c）[b（a+c）+ac（a+b+c）]-abc=0，
∴（a+b+c）b（a+c）+ac（a+c）=0，∴（a+c）（ab+b²+bc+ac）=0，
∴（a+c）（a+b）（b+c）=0，∴（1-b）（1-c）（1-a）=0，
故1-b、1-c、1-a中至少有一個等于0，∴a，b，c 中至少有一個等于1．