Question

某商品最近30天的價格f（t）（元）與時間t滿足關系式：f（t）=

1 3 t+8，(0≤t＜15，t∈N+) - 1 3 t+18，(15≤t＜30，t∈N+)

，且知銷售量g（t）與時間t滿足關系式 g（t）=-t+30，（0≤t≤30，t∈N⁺），求該商品的日銷售額的最大值．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：計算題,應用題,函數(shù)的性質及應用

分析：設W（t）表示商品的日銷售額（單位：元）與時間t的函數(shù)關系，則有：W（t）=f（t）g（t），對每段化簡和配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質，分別求解每段函數(shù)的最大值，由此能求出商品的日銷售額W（t）的最大值．

解答： 解：設W（t）表示商品的日銷售額（單位：元）與時間t的函數(shù)關系，
則有：W（t）=f（t）g（t）
=

(8+ 1 3 t)(30-t)，0≤t＜15，t∈N+ (18- 1 3 t)(30-t)，15≤t≤30，t∈N+

=

- 1 3 t2+2t+240，0≤t＜15，t∈N+ 1 3 t2-28t+540，15≤t≤30，t∈N+

=

- 1 3 (t-3)2+243，0≤t＜15，t∈N+ 1 3 (t-42)2-48，15≤t≤30，t∈N+

，
當0≤t＜15，t∈N⁺時，易得t=3時，W（t）取最大，且為W（3）=243；
當15≤t≤30，t∈N⁺時，[15，30]為減函數(shù)，則t=15時，W（t）取最大，且為W（15）=195．
所以當t=3時，該商品的日銷售額最大，且為243．

點評：本題考查分段函數(shù)在生產實際中的應用，考查二次函數(shù)的最值問題和運算求解能力，屬于中檔題．