Question

函數(shù)y=-x³+2ax+a在（-1，0）內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A、（0，

  3

  2

  ）
• B、（0，3）
• C、（-∞，3）
• D、（0，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由函數(shù)y=-x³+2ax+a在（-1，0）內(nèi)有極小值，求導(dǎo)可得，導(dǎo)函數(shù)在（-1，0）內(nèi)至少有一個實(shí)數(shù)根，分a＞0、a=0、a＜0三種情況，求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：對于函數(shù)y=-x³+2ax+a求導(dǎo)可得y′=-3x²+2a，
∵函數(shù)y=-x³+2ax+a在（-1，0）內(nèi)有極小值，
∴y′=-3x²+2a=0，則有一根在（-1，0）內(nèi)，
a＞0時，兩根為±

6a

3

，
若有一根在（-1，0）內(nèi)，則-1＜-

6a

3

＜0
即0＜a＜

3

2

．
a=0時，兩根相等，均為0，f（x）在（-1，0）內(nèi)無極小值．
a＜0時，無實(shí)根，f（x）在（-1，0）內(nèi)無極小值，
綜合可得，0＜a＜

3

2

，
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于中檔題．