Processing math: 61%
15.如圖,已知在四陵錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BCD=120°,AP=BP,∠APB=90°,PC=2.
(1)求證:AB⊥PC;
(2)求二面角B-PC一D的余弦值.

分析 (1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定證明定AB⊥面ABC即可;
(2)建立空間直角坐標系,求平面的法向量,利用向量法進行求解.

解答 (1)證明:∵底面ABCD是邊長為2的菱形,AP=BP,
∴取AB的中點O,
則PO⊥AB,CO⊥AB,
∵PO∩OC=0,
∴AB⊥面ABC,
∵PC?面ABC,
∴AB⊥PC;
(2)∵底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BCD=120°,∠APB=90°,PC=2,
∴OA=OB=1,OC=3,OP=OA=1,
則OP2+OC2=1+3=4=PC2,
即△POC為直角三角形,
則PO⊥OC,則PC⊥面ABC,
建立以O(shè)為坐標原點,OA,OC,OP分別為x,y,z軸的空間直角坐標系如圖:
則A(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,3,0),P(0,0,1),
CD=BA=(2,0,0).PC=(0,3,-1),BP=(1,0,1)
m=(x,y,z)為平面BPC的法向量,
則由mCD=0,且mPC=0得,{2x=03yz=0,
令y=1,則z=3,x=0,
m=(0,1,3
設(shè)n=(x,y,z)為平面PCD的一個法向量,
nBP=0,且nPC=0得,{x+z=03yz=0,
令y=3,則z=3,x=-3,
n=(-3,3,3),
則cos<mn>=mn|m||n|=3+331+39+9+3=432×21=277
∵二面角B-PC一D的為鈍二面角,
∴對應(yīng)的余弦值為-277

點評 本小題主要考查直線垂直的判斷和二面角的求解,考查用空間向量解決立體幾何問題的方法,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力,綜合性較強,運算量較大.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

5.如圖所示,△ABC內(nèi)接于⊙O,直線AD與⊙O相切于點A,交BC的延長線于點D,過點D作DE∥CA交BA的延長線于點E.
(I)求證:DE2=AE•BE;
(Ⅱ)若直線EF與⊙O相切于點F,且EF=4,EA=2,求線段AC的長.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

6.在極坐標系中,已知點A(2,\frac{π}{4}),圓C的方程為ρ=4\sqrt{2}sinθ(圓心為點C),求直線AC的極坐標方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.在橢圓E:\frac{x^2}{4}+{y^2}=1上任取一點P,過P作x軸的垂線PD,D為垂足,點M滿足\overrightarrow{DM}=2\overrightarrow{DP},點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)過點B1(0,1)作直線交橢圓E于A1,B1,交曲線C于A2,B2,當|A1B1|最大時,求|A2B2|.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

10.已知x,y∈R,且滿足\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≥x}\\{x-2y+3≥0}\end{array}\right.,則t=\frac{y+1}{x}的最大值為( �。�
A.3B.2C.1D.\frac{1}{2}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.如圖,四棱錐S-ABCD底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=AD=2,點E是SD的中點,F(xiàn)是BC線段上的點,O是AC與BD的交點.
(Ⅰ)求證:OE∥平面SBC;
(Ⅱ)若直線SF與平面ABCD所成角的正弦值為\frac{2}{3},求二面角C-OE-F的大�。�

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

7.已知函數(shù)f(x)=sinx+acosx(x∈R)的一條對稱軸是x=-\frac{π}{4}
(Ⅰ)求a的值,并求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若α,β∈(0,\frac{π}{2}),且f(α+\frac{π}{4})=\frac{\sqrt{10}}{5},f(β+\frac{3π}{4})=\frac{3\sqrt{5}}{5},求sin(α+β)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

4.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,首項a1=4,a1,a3,a7成等比數(shù)列,設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N).
(I)求an和Sn;
(II)若bn=\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}(2{S}_{n}<5{a}_{n})}\\{\frac{1}{{S}_{n}}(2{S}_{n}>5{a}_{n})}\end{array}\right.數(shù)列{bn}的前n項和Tn,求證4≤Tn<18\frac{37}{180}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.已知P1(3,4),P2(-3,2),點P是線段P1P2的靠近P1的一個三等分點,則點P的坐標為(  )
A.(1,\frac{10}{3}B.(1,-\frac{10}{3}C.(-1,-\frac{10}{3}D.(-1,\frac{10}{3}

查看答案和解析>>

同步練習冊答案