分析 (1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定證明定AB⊥面ABC即可;
(2)建立空間直角坐標系,求平面的法向量,利用向量法進行求解.
解答 (1)證明:∵底面ABCD是邊長為2的菱形,AP=BP,
∴取AB的中點O,
則PO⊥AB,CO⊥AB,
∵PO∩OC=0,
∴AB⊥面ABC,
∵PC?面ABC,
∴AB⊥PC;
(2)∵底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BCD=120°,∠APB=90°,PC=2,
∴OA=OB=1,OC=√3,OP=OA=1,
則OP2+OC2=1+3=4=PC2,
即△POC為直角三角形,
則PO⊥OC,則PC⊥面ABC,
建立以O(shè)為坐標原點,OA,OC,OP分別為x,y,z軸的空間直角坐標系如圖:
則A(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,√3,0),P(0,0,1),
則→CD=→BA=(2,0,0).→PC=(0,√3,-1),→BP=(1,0,1)
→m=(x,y,z)為平面BPC的法向量,
則由→m•→CD=0,且→m•→PC=0得,{2x=0√3y−z=0,
令y=1,則z=√3,x=0,
則→m=(0,1,√3)
設(shè)→n=(x,y,z)為平面PCD的一個法向量,
由→n•→BP=0,且→n•→PC=0得,{x+z=0√3y−z=0,
令y=√3,則z=3,x=-3,
則→n=(-3,√3,3),
則cos<→m,→n>=→m•→n|→m||→n|=√3+3√3√1+3•√9+9+3=4√32×√21=2√77
∵二面角B-PC一D的為鈍二面角,
∴對應(yīng)的余弦值為-2√77.
點評 本小題主要考查直線垂直的判斷和二面角的求解,考查用空間向量解決立體幾何問題的方法,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力,綜合性較強,運算量較大.
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A. | 3 | B. | 2 | C. | 1 | D. | \frac{1}{2} |
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A. | (1,\frac{10}{3}) | B. | (1,-\frac{10}{3}) | C. | (-1,-\frac{10}{3}) | D. | (-1,\frac{10}{3}) |
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