如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90° ，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，M為線段AB的中點，將△ACD沿AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC，如圖2所示．

(Ⅰ)求證：BC⊥平面ACD；

(Ⅱ)求二面角A－CD－M的余弦值．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)取AC的中點O，連接DO，則DO⊥AC，

　　∵平面ADC⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，∴DO⊥BC　　2分

　　在直角梯形ABCD中，連接CM，可得CM＝AD＝2，AC＝BC＝2，

　　∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，

　　又∵DO∩AC＝O，∴BC⊥平面ACD　　3分

　　(Ⅱ)取CD的中點N，連接MO，NO，MN，

　　則MO∥BC，∴MO⊥平面ACD，∴MO⊥CD　　1分

　　∵AD⊥CD，ON∥AD，∴ON⊥CD，又∵MO∩NO＝O，

　　∴CD⊥平面MON，∴CD⊥MN，∴∠MNO是所求二面角的平面角　　2分

　　在Rt△MON中，MO＝＝，NO＝＝1，

　　∴MN＝＝，∴cos∠MNO＝＝　　2分


練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M為線段AB的中點．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角A-CD-M的余弦值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•肇慶二模）如圖1，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，AE⊥BD．將△ABD沿對角線BD折起（圖2），記折起后點A的位置為P且使平面PBD⊥平面BCD．
（1）求三棱錐P-BCD的體積；
（2）求平面PBC與平面PCD所成二面角的平面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•海淀區(qū)二模）如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4．把△DAC沿對角線AC折起到△PAC的位置，如圖2所示，使得點P在平面ABC上的正投影H恰好落在線段AC上，連接PB，點E，F(xiàn)分別為線段PA，PB的中點．
（Ⅰ）求證：平面EFH∥平面PBC；
（Ⅱ）求直線HE與平面PHB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在一點M，使得M到P，H，A，F(xiàn)四點的距離相等？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•韶關二模）如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=
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AB=2，點E為AC中點，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示．
（1）求證：DA⊥BC；
（2）在CD上找一點F，使AD∥平面EFB；
（3）求點A到平面BCD的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，CD=6，AD=3，E為CD上一點，且DE=4，過E作EF∥AD交BC于F現(xiàn)將△CEF沿EF折起到△PEF，使∠PED=60°，如圖2．
（Ⅰ）求證：PE⊥平面ADP；
（Ⅱ）求異面直線BD與PF所成角的余弦值；
（Ⅲ）在線段PF上是否存在一點M，使DM與平在ADP所成的角為30°？若存在，確定點M的位置；若不存在，請說明理由．

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