Question

【題目】在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為(　　)

A. 3 B. 2

C. D. 2

Answer 1

【答案】A

【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則C點坐標(biāo)為(2,1)．

設(shè)BD與圓C切于點E，連接CE，則CE⊥BD.

∵ CD＝1，BC＝2，

∴ BD＝，

EC，

即圓C的半徑為，

∴ P點的軌跡方程為(x－2)2＋(y－1)2＝.

設(shè)P(x0，y0)，則 (θ為參數(shù))，

而＝(x0，y0)， ＝(0,1)， ＝(2,0)．

∵＝λ＋μ＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，

∴ μ＝x0＝1＋cos θ，λ＝y0＝1＋sin θ.

兩式相加，得λ＋μ＝1＋sin θ＋1＋cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3

當(dāng)且僅當(dāng)θ＝＋2kπ－φ，k∈Z時，λ＋μ取得最大值3.

故選A.