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已知二次函數f（x）的二次項系數為a，且不等式f（x）＞-4x的解集為（1，3），若f（x）的最大值大于-3，求a的取值范圍．
分析：不等式f（x）＞-4x的解集為（1，3），得方程f（x）=-4x兩個根是1，3．由此可得出二次函數f（x）中的系數間的關系，又f（x）的最大值大于-3，得二次項系數a＜0且可以得到關于a的不等關系．
解答：解：設f（x）=ax2+bx+c，（a＜0），由題意得方程f（x）=-4x兩個根是1，3，
即ax2+（b+4）x+c=0兩個根是1，3．
∴
-
b+4
a
=4
c
a
=3

∴b=-4a-4，c=3a
又f（x）的最大值大于-3，即
4ac-b2
4a
＞-3
消去b，c得到關于a不等式，
a2+5a+4＞0
解得a的取值范圍是-1＜a＜0或a＜-4．
點評：本題考查不等式與方程之間的內在聯系，體現了函數與方程的數學思想，解題的過程中，要有主元素的思想，即要把條件轉化成關于a的不等關系．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數的圖象經過原點，且滿足f（2）=0，求實數m的值．
（Ⅱ）若函數在區(qū)間[2，+∞）上為增函數，求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設函數F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結論給出證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數f（x）=x2+ax+m+1，關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數．設g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知二次函數f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經過原點，求f（x）的解析式．

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