Question

【題目】已知函數(shù)．（是自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）記，若，試討論在上的零點個數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：）

Answer 1

【答案】（1）．（2）見解析

【解析】

（1）求出導函數(shù)，解不等式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得解；

（2）求出，令，由導數(shù)的知識求得的單調(diào)性，然后通過討論的正負確定的單調(diào)性的極值，確定其零點個數(shù)．

解：（1），定義域為．

．

由解得，解得．

∴的單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）由已知，∴．

令，則．

∵，∴當時，；

當時，，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

∵，．

①當，即時，，∴．

∴，使得，

∴當時，；當時，，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

∵，∴．

又∵，

∴由零點存在性定理可得，此時在上僅有一個零點．

②若時，，

又∵在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，

∴，，使得，，

且當、時，；當時，．

∴在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

∵，∴．

∵，∴．

又∵，由零點存在性定理可得，

在和內(nèi)各有一個零點，

即此時在上有兩個零點．

綜上所述，當時，在上僅有一個零點；

當時，在上有兩個零點．