Question

設(shè)數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，T_n=a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1+na_n，已知T₁=1，T₂=5．
（1）求數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)和公比；
（2）求數(shù)列{T_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)題意，首先設(shè)出等比數(shù)列的公比為q，利用T₁=1，T₂=5，求出數(shù)列的首項(xiàng)與公比，即可求數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法推出T_n的通項(xiàng)公式即可．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則T₁=a₁，T₂=a₁+2a₂=a₁（1+2q）．
∵T₁=1，T₂=5，代入解得a₁=1，q=2．
∴a_n=2^n-1．
（2）T_n=1×1+2×2+…+n×2^n-1①；
2T_n=1×2+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ②，
②-①可得T_n=-1×1-1×2-1×2²+…-1×2^n-1+n×2ⁿ，
∴T_n=1+（n-1）×2ⁿ．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和，正確處理T_n=a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1+na_n是關(guān)鍵．