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13.在數(shù)列{an}中,a1=a(a≠0,a≠1),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,且Sn=a1a(1-an),
(1)求證:{an}是等比數(shù)列;
(2)記bn=anlg|an|(n∈N*),當(dāng)a=-73時(shí),是否存在正整數(shù)m,使得對(duì)于任意正整數(shù)n,都有bn≥bm?如果存在,求出m的值;如果不存在,說(shuō)明理由.

分析 (1)利用an=sn-sn-1和Sn=a1a(1-an)整理得anan1=a,所以:{an}為等比數(shù)列;
(2)根據(jù)(1)an=an化簡(jiǎn)得bn.如果存在滿足條件的正整數(shù)m,則m一定是偶數(shù).b2k+2-b2k=2a2k(a2-1)(k-a21a2)lg|a|,其中k∈N+,判斷b2k+2-b2k的符號(hào)來(lái)求出m即可.

解答 解:(1)證明:當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=a1a(1-an-1),
整理得:anan1=a,
所以{an}是公比為a的等比數(shù)列;
(2)∵a1=a,∴an=an(n∈N*),
∴bn=anlg|an|=anlg|an|=nanlg|a|(n∈N*),
∵-1<a<1,
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),bn=nanlg|a|>0;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),bn=nanlg|a|<0,
如果存在滿足條件的正整數(shù)m,則m一定是偶數(shù),
又b2k+2-b2k=2a2k(a2-1)(k-a21a2)lg|a|,其中k∈N*
當(dāng)a=-73時(shí),a2-1=29,
∴2a2k(a2-1)lg|a|>0,又a21a2=72
∴當(dāng)k>72時(shí),b2k+2>b2k,即bg<b10<b12;
當(dāng)k<72時(shí),b2k+2<b2k,即b8<b6<b4<b2,
故存在正整數(shù)m=8,使得對(duì)于任意正整數(shù)n都有bn≥bm

點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生會(huì)確定等比數(shù)列的能力,運(yùn)用數(shù)列求和的能力.

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