Question

求證：當(dāng)x≥4時(shí)，

x

＞lnx．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)函數(shù)f(x)=

x

-lnx(x＞0)，則f′(x)=

1

2

×

1

x

-

1

x

=

x -2

2x

，令f'（x）=0，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而證明

x

＞lnx成立．

解答： 證明：

x

＞lnx等價(jià)于

x

-lnx＞0
設(shè)函數(shù)f(x)=

x

-lnx(x＞0)，
則f′(x)=

1

2

×

1

x

-

1

x

=

x -2

2x

，
令f'（x）=0，解得x=4，
當(dāng)x＞4時(shí)，f'（x）＞0，
當(dāng)x＜4時(shí)，f'（x）＜0，
∴當(dāng)x=4，f（x）取得極小值，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[4，+∞），
f（x）≥f（4）．
又當(dāng)x=4時(shí)，f（x）=f（4）=2-ln4＞0
∴x≥4時(shí)，f（x）＞0，
即

x

-lnx＞0，
∴

x

＞lnx成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，本題屬于中檔題．