Question

如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面是矩形且AD=2,AB=PA=,PA⊥底面ABCD,E是AD的中點,F在PC上.

(1)求F在何處時,EF⊥平面PBC.

(2)在(1)的條件下,EF是否是PC與AD的公垂線段?若是,求出公垂線段的長度；若不是,請說明理由.

(3)在(1)的條件下,求直線BD與平面BEF所成的角.

          

Answer 1

解:(1)以A為坐標原點,以射線AD,AB,AP分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則P(0,0, ),A(0,0,0),B(0,,0),C(2,,0),D(2,0,0),E(1,0,0).?

∵F在PC上,∴可令PF=λ.?

設F(x,y,z),=(2,0,0),=(2,2,-2),=(x-1,y,z).                                  ?

∵EF⊥平面PBC,∴·=0且·=0.??

又=λ,可得λ=,x=1,y=z=,故F為PC的中點.                                ?

(2)由(1)可知EF⊥PC,且EF⊥BC,即EF⊥AD.?

∴EF是PC與AD的公垂線段,其長為||=1.                                                        ?

(3)由(1)可知=(2,,-)即為平面BEF的一個法向量,

而=(2,-,0).                                                                                                 ?

設BD與平面BEF所成角為θ,則sinθ=cos〈,〉==.

∴θ=arcsin.?

故BD與平面BEF所成角為arcsin.