Question

（2012•長(zhǎng)春模擬）已知函數(shù)f（x）=lgx和g（x）=10^x的圖象與圓x²+y²=20在第一象限內(nèi)的部分相交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）兩個(gè)點(diǎn)，則y12+y22=

20

．

Answer 1

分析：由f（x）與g（x）互為反函數(shù)，得到兩函數(shù)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，進(jìn)而得到M與N關(guān)于y=x對(duì)稱，利用關(guān)于y=x對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)得到x₁=y₂，x₂=y₁，并根據(jù)N在圓上得到x₂²+y₂²=20，將y₁=x₂代入所求式子中，即可求出值．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=lgx和函數(shù)g（x）=10^x互為反函數(shù)，
∴其圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
∴它們的圖象與圓x²+y²=20在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)M和N也關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
∴這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足x₁=y₂，x₂=y₁，
又N（x₂，y₂）在圓上，即x₂²+y₂²=20，
則y₁²+y₂²=x₂²+y₂²=20．
故答案為：20

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反函數(shù)的性質(zhì)，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)f（x）與g（x）化為反函數(shù)，得到兩函數(shù)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱是解本題的關(guān)鍵．