Question

已知函數(shù)f（x）=x²e^-ax，a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）的圖象在x=-1處的切線方程；
（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中化簡得到f（x）的解析式，求出f'（x），因為曲線的切點為（-1，f（-1）），所以把x=1代入到f'（x）中求出切線的斜率，把x=-1代入到f（x）中求出f（-1）的值得到切點坐標，根據(jù)切點和斜率寫出切線方程即可；
（Ⅱ）先求導(dǎo)數(shù)，分三種情況討論：①當a=0時和②當a＜0時，③當a＜0時；討論f'（x）的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答：解：（Ⅰ）因為f（x）=x²e^-x，f′（x）=2xe^-x-x²e^-x=（2x-x²）e^-x．
所以f（-1）=e，f′（-1）=-3e（2分）
從而f（x）的圖象在x=-1處的切線方程為y-e=-3e（x+1），即y=-3ex+4e．（4分）
（Ⅱ）f′（x）=2xe^-ax-ax²e^ax=（2x-ax²）e^-ax．
①當a=0時，若x＜0，則f′（x）＜0，若x＞0，則f'（x）＞0．（6分）
所以當a=0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)．
②當a＞0時，由2x-ax2＜0，解得x＜0或x＞

2

a

，
由2x-ax2＞0，解得0＜x＜

2

a

．
所以當a＞0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，

2

a

）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（

2

a

，+∞）內(nèi)為減函數(shù)．（9分）
③當a＜0時，由2x-ax²＜0，解得

2

a

＜x＜0，
由2x-ax²＞0，解得x＜

2

a

或x＞0．
所以，當a＜0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，

2

a

）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（

2

a

，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)．（12分）
綜上所述：①當a=0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)．
②當a＞0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，

2

a

）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（

2

a

，+∞）內(nèi)為減函數(shù)；
③當a＜0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，

2

a

）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（

2

a

，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)．（14分）

點評：考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值．靈活運用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題．