精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情
已知邊長為2的正方形ABCD,E,F(xiàn)分別是AB,CD的中點(diǎn),將△ADE沿DE折起,點(diǎn)A在平面BCDE的投影點(diǎn)O恰好落在直線EF上.
(1)證明:BF∥平面ADE;
(2)證明:AE⊥平面ACD;
(3)求三棱錐F-ABC的體積.
【答案】分析:(1)由BE∥FD,BE=FD,知四邊形BEDF為平行四邊形,由此能夠證明BF∥平面ADE.
(2)由AO⊥面BCDE,知AO⊥CD,由CD⊥EF,知CD⊥EF,由此能夠證明AE⊥平面ACD.
(3)由BC=2,CF=1,知
=1,由AE⊥面ACD,知AE⊥AF,由EF=2,AE=1,知AF=
,AD=
,由此能求出三棱錐F-ABC的體積.
解答:(1)證明:∵BE∥FD,BE=FD,
∴四邊形BEDF為平行四邊形,
∴ED∥BF,
∵ED?平面ADE,BF?平面ADE,
∴BF∥平面ADE.
(2)證明:∵AO⊥面BCDE,∴AO⊥CD,
又∵CD⊥EF,AO∩EF=O,
∴CD⊥EF,
∴CD⊥AE,
又∵AE⊥AD,AD∩CD=D,
∴AE⊥平面ACD.
(3)解:∵BC=2,CF=1,
∴
=1,
由(2)知:AE⊥面ACD,
∴AE⊥AF,
又∵EF=2,AE=1,
∴AF=
,
∴AD=
=
,
∴VF-ABC=VA-BCF=
=
.
點(diǎn)評:本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的證明,考查三棱錐的體積的求法.解題時(shí)要注意合理地化立體問題為平面問題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
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已知邊長為2的正方形ABCD,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),依次到達(dá)C點(diǎn),D點(diǎn),最后回到A點(diǎn),設(shè)從B到P經(jīng)過的路程為x,求三角形△ABP的面積f(x),作出圖象.
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