已知函數(shù)f(x)=alnx-ax-3(a∈R).
(Ⅰ)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(2,f(2))處的切線的傾斜角為45°,問:m在什么范圍取值時,對于任意的t∈[1,2],函數(shù)在區(qū)間(t,3)上總存在極值?
(Ⅲ)當(dāng)a=2時,設(shè)函數(shù),若在區(qū)間[1,e]上至少存在一個x,使得h(x)>f(x)成立,試求實數(shù)p的取值范圍.
【答案】分析:(I)由題意及函數(shù)解析式需用導(dǎo)函數(shù)來求其單調(diào)區(qū)間;
(II)由導(dǎo)函數(shù)的幾何意義可以先求出a的值,此時函數(shù)f(x)就具體了,然后代入g(x)的解析式,再利用一元3次函數(shù)存在極值的充要條件建立m的不等式即可;
(III)由題意構(gòu)建新函數(shù)F(x),這樣問題轉(zhuǎn)化為使函數(shù)F(x)在[1,e]上至少有一解的判斷.
解答:解:(Ι)當(dāng)a=1時,函數(shù)f(x)=alnx-ax-3=lnx-x-3;導(dǎo)函數(shù)為;
當(dāng)0<x<1時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)時x>1時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;
故減區(qū)間為(1,+∞),增區(qū)間為(0,1);
(Ⅱ)∵g(x)=x2-2x,
∴g(x)=3x2+(4+m)x-2,
∵g(x)在區(qū)間(t,3)上總存在極值,∴
解得
所以當(dāng)m∈時,對于任意的t∈[1,2]函數(shù)在區(qū)間(t,3)上總存在極值.
(Ⅲ)∴
①當(dāng)p≤0時,由x∈[1,e]得px-≤0,--2lnx<0.
所以,在[1,e]上不存在x,使得h(x)>f(x)成立;
②當(dāng)p>0時,F(xiàn)'(x)=,∵x∈[1,e],
∴2e-2x≥0,px2+p>0,F(xiàn)'(x)>0在[1,e]上恒成立,故F(x)在[1,e]上單調(diào)遞增.

故只要,解得.所以p的取值范圍是
點評:(I)此題在這一問重點考查了函數(shù)上某點處的導(dǎo)函數(shù)值的幾何意義是此函數(shù)在該點處與函數(shù)相切的切線的斜率,還考查了利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法;
(II)在此重點考查了導(dǎo)數(shù)的集合意義及連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間有極值的充要條件;
(III)此處重點考查了等價轉(zhuǎn)化的思想,把問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)建一新函數(shù),并考查了函數(shù)F(x)在定義域下恒成立問題.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
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