已知函數(shù)f(x)=ex(x2-a),其圖象記為曲線C.曲線C在點A(0,f(0))處切線的斜率為-3.
(Ⅰ)求曲線C在點A處的切線方程;  
(Ⅱ)求f(x)的極值.
分析:(1)先由所給函數(shù)的表達式,求導數(shù)f′(x),再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,最后由平行直線的斜率相等方程求a的值,進而得到切線方程;
(2)令導數(shù)f′(x)>0或f′(x)<0,求出函數(shù)的單調區(qū)間,進而得到函數(shù)的極值.
解答:解:f′(x)=ex(x2+2x-a)
(1)f′(0)=e0(0+2×0-a)=-a=-3,解得a=3
所以f(0)=e0(02-3)=-3,
故曲線C在點A處的切線方程為y-(-3)=-3(x-0)
整理得到3x+y+3=0
(2)令f′(x)=ex(x2+2x-3)=0,得x1=1,x2=-3
當x<-3或x>1時,f′(x)>0,當-3<x<1時,f′(x)<0,
故f(x)在(-∞,-3),(1,+∞)上遞增,(-3,1)上遞減
極大值為f(-3)=e-3[(-3)2-3]=
6
e3
,極小值f(1)=e1(12-3)=-2e.
點評:本小題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、函數(shù)的最值及其幾何意義、兩條直線平行的判定等基礎知識,考查運算求解能力.
練習冊系列答案
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