Question

17．已知函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）在區(qū)間[1，2]上的最大值與函數(shù)g（x）=-$\frac{4}{x}$在區(qū)間[1，2]上的最大值互為相反數(shù)．
（1）求a的值；
（2）若函數(shù)F（x）=f（x²-mx-m）在區(qū)間（-∞，1-$\sqrt{3}$）上是減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)g（x）=-$\frac{4}{x}$當x=2時，函數(shù)取最大值-2，故函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）在區(qū)間[1，2]上的最大值為2，進而可得a的值；
（2）若函數(shù)F（x）=f（x²-mx-m）在區(qū)間（-∞，1-$\sqrt{3}$）上是減函數(shù)，則t=x²-mx-m在區(qū)間（-∞，1-$\sqrt{3}$）上是減函數(shù)，且x²-mx-m＞0在區(qū)間（-∞，1-$\sqrt{3}$）上恒成立，進而得到實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)g（x）=-$\frac{4}{x}$在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)，
故當x=2時，函數(shù)取最大值-2，
故函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）在區(qū)間[1，2]上的最大值為2，
若0＜a＜1，則當x=1時，f（x）=log_ax取最大值0，不滿足條件；
若a＞1，則當x=2時，f（x）取最大值log_a2=2，
解得：a=$\sqrt{2}$，
綜上可得：a=$\sqrt{2}$；
（2）若函數(shù)F（x）=f（x²-mx-m）在區(qū)間（-∞，1-$\sqrt{3}$）上是減函數(shù)，
則t=x²-mx-m在區(qū)間（-∞，1-$\sqrt{3}$）上是減函數(shù)，
且x²-mx-m＞0在區(qū)間（-∞，1-$\sqrt{3}$）上恒成立，
即$\frac{m}{2}$≥1-$\sqrt{3}$且（1-$\sqrt{3}$）²-m（1-$\sqrt{3}$）-m≥0，
解得：m∈[2-2$\sqrt{3}$，2]．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的最值及其幾何意義，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．