Question

點(diǎn)M與定點(diǎn)F(－4，0)的距離和它到定直線l∶x=的距離的比是常數(shù)，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C，曲線C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為，過點(diǎn)F的直線交曲線C于P、Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P、Q均不在坐標(biāo)軸上)．

(Ⅰ)求曲線C的方程；

(Ⅱ)求證：三直線和l經(jīng)過同一點(diǎn)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由題設(shè)，曲線C是焦點(diǎn)在x軸上且關(guān)于y軸對稱的橢圓，其中c=4，．解得． 　　∴曲線C的方程是 　　或設(shè)M(x，y)則， 　　整理， 　　(2)[證法一]不防設(shè)是橢圓的左頂點(diǎn)，則(－5，0)，(5，0)． 　　設(shè) 　　則直線 　　將 　　即與直線l的交點(diǎn) 　　同理與直線l的交點(diǎn) 　　下面只須證． 　　即證：T==0． 　　∵點(diǎn)P、Q在橢圓上， 　　∴ 　　∴ 　　即．③ 　　又P、F、Q三點(diǎn)共線，得 　　④ 　　將④代入③，得⑤ 　　從而 　　因此M與M′重合，故三直線和l經(jīng)過同一點(diǎn)． 　　[證法二]：設(shè)直線PQ的方程為x=ky－4，代入，化簡得，－72ky－81=0， 　　設(shè)其二根為， 　　 ① 　　P為()，Q為()，為(－5，0)，為(5，0)， 　　直線的方程為，將代入，得， 　　即與l的交點(diǎn)為 　　同理與l的交點(diǎn) 　　只須證 　　即證 　　將①中二式代入， 　　成立， 　　故M與M′重合，三直線與l經(jīng)過同一點(diǎn)．