點(diǎn)M與定點(diǎn)F(-4,0)的距離和它到定直線l∶x=的距離的比是常數(shù),設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C,曲線C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為,過點(diǎn)F的直線交曲線C于P、Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P、Q均不在坐標(biāo)軸上).
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)求證:三直線和l經(jīng)過同一點(diǎn).
解:(1)由題設(shè),曲線C是焦點(diǎn)在x軸上且關(guān)于y軸對稱的橢圓,其中c=4,.解得. ∴曲線C的方程是 或設(shè)M(x,y)則, 整理, (2)[證法一]不防設(shè)是橢圓的左頂點(diǎn),則(-5,0),(5,0). 設(shè) 則直線 將 即與直線l的交點(diǎn) 同理與直線l的交點(diǎn) 下面只須證. 即證:T==0. ∵點(diǎn)P、Q在橢圓上, ∴ ∴ 即.③ 又P、F、Q三點(diǎn)共線,得 ④ 將④代入③,得⑤ 從而 因此M與M′重合,故三直線和l經(jīng)過同一點(diǎn). [證法二]:設(shè)直線PQ的方程為x=ky-4,代入,化簡得,-72ky-81=0, 設(shè)其二根為, ① P為(),Q為(),為(-5,0),為(5,0), 直線的方程為,將代入,得, 即與l的交點(diǎn)為 同理與l的交點(diǎn) 只須證 即證 將①中二式代入, 成立, 故M與M′重合,三直線與l經(jīng)過同一點(diǎn). |
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