Question

設若存在互異的三個實數x₁，x₂，x₃，使f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），則x₁+x₂+x₃的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：先作出函數f（x）的圖象，利用圖象分別確定x₁，x₂，x₃，的取值范圍．
解答：解：不妨設x₁＜x₂＜x₃，當x≥0時f（x）=（x-2）²+2，
此時二次函數的對稱軸為x=2，最小值為2，
作出函數f（x）的圖象如圖：
由2x+4=2得x=-1，由f（x）=（x-2）²+2=4時，解得x=2或x=2，
所以若f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），
則-1＜x₁＜0，，且，即x₂+x₃=4，
所以x₁+x₂+x₃=4+x₁，
因為-1＜x₁＜0，所以3＜4+x₁＜4，
即x₁+x₂+x₃的取值范圍是（3，4）．
故答案為：（3，4）．
點評：本題主要考查利用函數的交點確定取值范圍，利用數形結合，是解決本題的關鍵．