（本題滿分12分）給定橢圓：，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”。若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為.

（Ⅰ）求橢圓的方程和其“準圓”方程.

（Ⅱ）點是橢圓的“準圓”上的一個動點，過動點作直線使得與橢圓都只有一個交點，且分別交其“準圓”于點，求證：為定值.

 

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）根據(jù)斜率情況進行分類討論，分別證明知直線垂直，從而=4

【解析】解：（Ⅰ），橢圓方程為……2分

準圓方程為。                                   …………3分

（Ⅱ）①當(dāng)中有一條無斜率時，不妨設(shè)無斜率，因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為，當(dāng)方程為時，此時與準圓交于點，

此時經(jīng)過點（或）且與橢圓只有一個公共點的直線是（或），

即為（或），顯然直線垂直；

同理可證方程為時，直線垂直.        …………………………6分

②當(dāng)都有斜率時，設(shè)點，其中.

設(shè)經(jīng)過點與橢圓只有一個公共點的直線為，

則消去，得.

由化簡整理得：.…………………………8分

因為，所以有.

設(shè)的斜率分別為，因為與橢圓只有一個公共點，

所以滿足上述方程，

所以，即垂直.                      …………………………10分

綜合①②知：因為經(jīng)過點，又分別交其準圓于點，且垂直，所以線段為準圓的直徑，所以=4.       ………………………12分

 

練習(xí)冊系列答案
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（本題滿分12分）A、B兩城相距100 km，在兩地之間距A城x （km）處建一核電站給A、B兩城供電，為保證城市安全，核電站距城市距離不得少于10km。已知供電費用等于供電距離(km)的平方與供電量(億度)之積的0.25倍，若A城供電量為每月20億度，B城為每月10億度。

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(本題滿分12分)給出命題方程表示焦點在軸上的橢圓；命題曲線與軸交于不同的兩點.

(1)在命題中,求a的取值范圍;

（2)如果命題“”為真，“”為假，求實數(shù)的取值范圍．

 

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（本題滿分12分）

已知定義域為的函數(shù)同時滿足以下三個條件：

①對任意的，總有；②；③若且，則有成立，則稱為“友誼函數(shù)”.

（Ⅰ）若已知為“友誼函數(shù)”，求的值；

（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間上是否為“友誼函數(shù)”？并給出理由；

（Ⅲ）已知為“友誼函數(shù)”，且 ，求證:.

 

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