Question

下列有五個命題：
①若sinα+cosα=1，則sinα•cosα=0．
②在同一坐標系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有三個公共點．
③函數(shù)y=tanx的圖象的對稱中心一定是（kπ，0），k∈Z．
④x∈R，函數(shù)y=sinx+3|sinx|的值域為[0，4]．
⑤在△ABC中，若有關(guān)系式tanA=

cosB-cosC

sinC-sinB

成立，則△ABC為A=60°的三角形．
其中真命題的序號是

①⑤

．

Answer 1

分析：①若sinα+cosα=1，兩邊平方可得1+2sinαcosα=1，0．可判斷①；②在同一坐標系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有一個公共點，可判斷②；③函數(shù)y=tanx的圖象的對稱中心一定是（

1

2

kπ，0），④x∈R，函數(shù)y=sinx+3|sinx|

4sinx，sinx≥0 -2sinx，sinx＜0

，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得值域⑤在△ABC中，若有關(guān)系式tanA=

cosB-cosC

sinC-sinB

成立，則cos（A-B）=cos（A-C ），由原式可得sinA≠sinB，可判斷⑤

解答：解：①若sinα+cosα=1，兩邊平方可得1+2sinαcosα=1，則sinα•cosα=0．故①正確
②在同一坐標系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有一個公共點．故②錯誤
③函數(shù)y=tanx的圖象的對稱中心一定是（

1

2

kπ，0），k∈Z．故③錯誤
④x∈R，函數(shù)y=sinx+3|sinx|=

4sinx，sinx≥0 -2sinx，sinx＜0

的值域為[-2，4]．故④錯誤
⑤在△ABC中，若有關(guān)系式tanA=

cosB-cosC

sinC-sinB

成立，則

sinA

cosA

=

cosB-cosC

sinC-sinB

∴sinAsinC-sinAsinB=cosAcosB-cosAcosC
∴cos（A-B）=cos（A-C ）
但由原式可得sinA≠sinB，則A-B=C-A
∴B+C=2A，再由A+B+C=180°可得A=60°故⑤正確
故答案為：①⑤

點評：本題主要考查了同角平方關(guān)系、正弦函數(shù)的圖象及函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，正切函數(shù)的性質(zhì)的考查，兩角差的余弦公式頂?shù)膽?yīng)用，屬于知識的綜合應(yīng)用．