已知圓C:x2+y2+2x-4y+1=0外一點P,從P向圓C引切線,切點為A,B、O是原點.
(Ⅰ)當點P的坐標為(3,-2)時,求過A,B,P三點的圓的方程.
(Ⅱ)當∠AOP=∠PAO時,求使|AP|最小時點P的坐標.
【答案】分析:(1)根據(jù)PQ⊥AP,PQ⊥BP可判斷出P,Q,A,B共圓,PQ為直徑,根據(jù)圓C的方程可求得圓心坐標,進而求得PQ的長度和中點坐標從而求得所求圓的圓心和半徑,則圓的方程可得.
(2)設P(x,y),根據(jù)∠AOP=∠PAO可知|PA|=|PO|,PA是圓C的切線,進而可知CA⊥PA,利用勾股定理求得x和y的關系式,推斷出點P的軌跡為一條直線,顯然該直線與圓相離要求|AP|的最小值,即求|OP|的最小值,當OP⊥l時|OP|有最小值易知此時OP的斜率是-2進而可求得OP的方程,最后兩直線方程聯(lián)立求得點P的坐標.
解答:解:(1) 已知圓C:x2+y2+2x-4y+1=0則
(x+1)2+(y-2)2=4 設其圓心為 Q(-1,2)得到
PQ2=(3+1)2+(2+2)2=32
∵PQ⊥AP,PQ⊥BP
∴P,Q,A,B共圓,PQ為直徑,
則 PQ 的中點 R(1,0) 為過A,B,P三點的圓的圓心
所以(x-1)2+y2=8 為過A,B,P三點的圓的方程
(2)將圓的方程化為標準式:
設P(x,y)
因∠AOP=∠PAO
故|PA|=|PO|
即|PA|2=|PO|2
因PA是圓C的切線
故CA⊥PA
故|PA|2=|PC|2-r2
故|PC|2-r2=|PO|2
即(x+1)2+(y-2)2-4=x2+y2
化簡得:
2x-4y+1=0
易知P的軌跡是一條直線l
顯然該直線與圓相離
要求|AP|的最小值,即求|OP|的最小值
顯然當OP⊥l時|OP|有最小值
易知此時OP的斜率是-2
故OP:y=-2x
聯(lián)立,解得P坐標為(-,).
點評:本題主要考查了直線與圓的方程的綜合運用.考查了學生綜合分析問題的能力和運用數(shù)形結合的思想解決問題.
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qp
,其中p、q均為整數(shù)且p、q互質)
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