Question

【題目】已知函數(shù)．

1當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；

2若是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍；

3若函數(shù)對任意的實(shí)數(shù)，存在唯一的實(shí)數(shù)，使得成立，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）代入a的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（0），f′（0），求出切線方程即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為f′（x）的最小值f'（x）min≥0，令g（x）＝f′（x）＝ex﹣x﹣a，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論x的范圍，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

（1）當(dāng)a＝1時，，

所以f′（x）＝ex﹣x﹣1，f′（0）＝0，f（0）＝1．

所以曲線y＝f（x）在x＝0處的切線方程為y＝1．　

（2）因?yàn)?/span>f（x）在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以f′（x）＝ex﹣x﹣a≥0恒成立，即f′（x）的最小值f'（x）min≥0．

令g（x）＝f′（x）＝ex﹣x﹣a，則g′（x）＝ex﹣1．

在（﹣∞，0），g′（x）＜0，f'（x）單調(diào)遞減；在（0，+∞），g′（x）＞0，f'（x）單調(diào)遞增．

所以f'（x）min＝f（0）＝1﹣a．

所以1﹣a≥0，即a≤1．經(jīng)檢驗(yàn)等號成立

所以若f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則a的取值范圍是（﹣∞，1]．

（3）當(dāng)x＜0時，t'（x）＝3x2﹣2（a2﹣a+1）x+5，

因?yàn)?/span>3＞0，，

所以t'（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，且t'（x）＞5；

當(dāng)x＞0時，t'（x）＝f'（x）＝ex﹣x﹣a，

由（2）知t'（x）在（0，+∞）遞增，且t'（x）＞1﹣a．

若對任意的實(shí)數(shù)，存在唯一的實(shí)數(shù)（≠），使得t'（）＝t'（）成立，則

（�。┊�(dāng)＜0時，＞0．所以1﹣a≤5，即a≥﹣4；

（ⅱ）當(dāng)＞0時，＜0．所以1﹣a≥5，即a≤﹣4．

綜合（�。�（ⅱ）可得a＝﹣4．