Question

已知函數(shù)f（x）=b+log_ax（a＞0且a≠1）的圖象過(guò)點(diǎn)（16，3），其反函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（-1，1）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）令g（x）=2f（x）-f（x-1），求g（x）的最小值及取得最小值時(shí)x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=b+log_ax（a＞0且a≠1）的圖象過(guò)點(diǎn)（16，3）、點(diǎn)（1，-1），可得3=b+log_a16，且-1=b+0，求得 a和b的值，可得函數(shù)f（x）的解析式．
（2）先求得g（x）=2f（x）-f（x-1）=-1+log2[(x-1)+2+

1

x-1

]，再利用基本不等式求得它的最小值．

解答： 解：（1）由題意可得，函數(shù)f（x）=b+log_ax（a＞0且a≠1）的圖象過(guò)點(diǎn)（16，3）、點(diǎn)（1，-1），
∴3=b+log_a16，且-1=b+0，解得a=2，且b=-1，
∴函數(shù)f（x）=-1+log₂x．

（2）∵f（x）=-1+log₂x．
∴g（x）=2f（x）-f（x-1）
=-2+2log₂x+1-log₂（x-1）
=-1+log2

x2

x-1

=-1+log2

(x-1)2+2(x-1)+1

x-1

=-1+log2[(x-1)+2+

1

x-1

]≥-1+log₂4=1，當(dāng)且僅當(dāng)x-1=

1

x-1

，即x=2時(shí)取等號(hào)，
即x=2時(shí)，函數(shù)g（x）取得最小值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合應(yīng)用，基本不等式，屬于中檔題．