Question

已知數(shù)列中，

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)；

（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（Ⅲ）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.

（Ⅱ）.

（Ⅲ）的最小值是.

【解析】

試題分析：（Ⅰ），①

，②

①-②：，，        2分

即（），又=2，

時(shí)，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

，故           4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí),,①

,②

①-②得，

= 

=

，又也滿足

               9分

（Ⅲ），由（Ⅰ）可知：

當(dāng)時(shí)，，令，

則，

又，∴

∴當(dāng)時(shí)，單增，∴的最小值是

而時(shí)，，綜上所述，的最小值是

∴，即的最小值是         13分

考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式，“錯(cuò)位相減法”，不等式恒成立問題。

點(diǎn)評(píng)：難題，為確定等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，往往通過建立相關(guān)元素的方程組，而達(dá)到目的。數(shù)列的求和問題，往往涉及“公式法”“分組求和法”“裂項(xiàng)相消法”“錯(cuò)位相減法”等。涉及不等式恒成立問題，通過放縮、求和等，得到最值。