Question

已知斜率為1的直線l過(guò)橢圓

x2

4

+y2=1的右焦點(diǎn)F₂．
（1）求直線l的方程；
（2）若l與橢圓交于點(diǎn)A、B 兩點(diǎn)，F(xiàn)₁為橢圓左焦點(diǎn)，求S△F1AB．

Answer 1

分析：（1）由c=

3

，F2(

3

，0)，能求出直線l．
（2）聯(lián)立直線l與橢圓方程：

y=x- 3 x2 4 +y2=1

，化簡(jiǎn)得：

5

4

x2-2

3

x+2=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則x1+x2=

2 3

5 4

=

8 3

5

， x1x2=

2

5 4

=

8

5

，由此能求出S△F1AB．

解答：解：（1）∵由已知c²=4-1=3
∴c=

3

∴F2(

3

，0)
∴直線l為：y=x-

3

．
（2）聯(lián)立直線l與橢圓方程：

y=x- 3 x2 4 +y2=1

，
化簡(jiǎn)得：

5

4

x2-2

3

x+2=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x1+x2=

2 3

5 4

=

8 3

5

， x1x2=

2

5 4

=

8

5

∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 2

5

∴|y1-y2|=k|x1-x2|=

4 2

5

∴S△F1AB=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=

1

2

•2

3

•

4 2

5

=

4 6

5

．

點(diǎn)評(píng)：本昰考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．