Question

已知向量

m

=（2sinx，cosx），

n

=（

3

cosx，2cosx）定義函數(shù)f（x）=log_a（

m

•

n

-1）（a＞0，a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）確定函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)向量的數(shù)量積求出

m

•

n

-1，再根據(jù)二倍角公式及輔助角公式對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可求
函數(shù)的最小正周期
（2）結(jié)合符合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)可知，需要對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論：0＜a＜1時(shí)，要求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，只需求解函數(shù)y=2sin(2x+

π

6

)的單調(diào)遞減且要保證y＞0；a＞1時(shí)，要求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，只需求解函數(shù)y=2sin(2x+

π

6

)的單調(diào)遞增且要保證y＞0

解答：解：（1）∵

m

•

n

=2

3

sinxcosx+2cos²x=

3

sin2x+cos2x+1
∴

m

•

n

-1=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)
∴f(x)=loga(

m

•

n

-1)=loga[2sin(2x+

π

6

)]
∴函數(shù)的最小正周期為T(mén)=π
（2）∵0＜a＜1時(shí)，令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

＜π+2kπ，k∈Z
∴

π

6

+kπ≤x＜

5π

12

+kπ，k∈Z
函數(shù)y=2sin(2x+

π

6

)在[kπ+

π

6

，kπ+

5π

12

）上單調(diào)遞減且y＞0
∴由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，f（x）的單增區(qū)間是[kπ+

π

6

，kπ+ 

5π

12

 )，k∈Z
∵a＞1時(shí)，2kπ＜2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
∴-

π

12

+kπ＜x≤

π

6

+kπ，k∈Z
函數(shù)y=2sin(2x+

π

6

)在[kπ-

π

12

，kπ+

π

6

]上單調(diào)遞增且y＞0
∴由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，f（x）的單增區(qū)間是(kπ-

π

12

，kπ+

π

6

)，k∈Z

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積的定義的應(yīng)用，及利用三角函數(shù)的二倍角公式及輔助角公式對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)為y=Asin（ωx+φ）的 形式，而本題中復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求解一定要注意不要漏掉考慮函數(shù)的定義域