Question

已知向量

m

=(cosx，sinx)，

n

=(cosx，cosx)，設(shè)函數(shù)f(x)=

m

•

n

（I）求f（x）的解析式，并求最小正周期；
（II）若函數(shù)g（x）的圖象是由函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

8

個單位得到的，求g（x）的最大值及使g（x）取得最大值時x的值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，結(jié)合三角恒等變換公式化簡，得數(shù)f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，再由三角函數(shù)的周期公式即可算出求最小正周期T；
（II）根據(jù)函數(shù)圖象平移的公式，可得g（x）=f（x-

π

8

）=

2

2

sin2x+

1

2

，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得當(dāng)x=

π

4

+kπ（k∈Z），g（x）=

2

2

sin2x+

1

2

取得最大值

2

2

+

1

2

，得到本題的答案．

解答：解：（I）∵向量

m

=(cosx，sinx)，

n

=(cosx，cosx)，
∴函數(shù)f(x)=

m

•

n

=cos²x+sinxcosx=

1

2

（1+cos2x）+

1

2

sin2x=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

即f（x）的解析式為y=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，最小正周期為T=

2π

2

=π；
（II）將f（x）的圖象向右平移

π

8

個單位，得到y(tǒng)=f（x-

π

8

）=

2

2

sin[2（x-

π

8

）+

π

4

]+

1

2

，
即y=

2

2

sin2x+

1

2

的圖象，因此g（x）=

2

2

sin2x+

1

2

令2x=

π

2

+2kπ（k∈Z），得x=

π

4

+kπ（k∈Z）
∴當(dāng)x=

π

4

+kπ（k∈Z），g（x）=

2

2

sin2x+

1

2

取得最大值

2

2

+

1

2

即[g（x）]_max=

2

2

+

1

2

，相應(yīng)的x=

π

4

+kπ（k∈Z）

點(diǎn)評：本題以向量的數(shù)量積運(yùn)算為載體，求函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+k的圖象與性質(zhì)．著重考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．