【題目】已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于 兩點，且.

（1）求該拋物線的方程；

（2）過點任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點和.設線段的中點分別為，求證：直線恒過一個定點.

【答案】（1）（2見解析

【解析】試題分析： 聯(lián)立直線方程和拋物線方程，利用弦長公式列方程解出，即可得到拋物線的方程；

設直線的方程，聯(lián)立拋物線方程得兩根之和，計算點的坐標，同理可得點的坐標，運用直線點斜式給出直線方程，討論斜率問題即可得出定點

解析：（1）拋物線的焦點，∴直線的方程為：

聯(lián)立方程組，消元得： ，

∴

∴，解得.

∵，∴拋物線的方程為： .

（2）設兩點坐標分別為，則點的坐標為..

由題意可設直線的方程為.

由，得.

因為直線與曲線于兩點，所以.

所以點的坐標為.

由題知，直線的斜率為，同理可得點的坐標為.

當時，有，此時直線的斜率.

所以，直線的方程為，整理得.

于是，直線恒過定點；

當時，直線的方程為，也過點.

綜上所述，直線恒過定點.

練習冊系列答案
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【題目】已知函數(shù) 的部分圖象如圖所示，分別是圖象的最低點和最高點，.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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⑴設燈罩軸線與路面的交點為，若米，求燈柱長；

⑵設米，若燈罩截面的兩條母線所在直線一條恰好經(jīng)過點，另一條與地面的交點為（如圖2）

（圖1） （圖2）

（�。┣�的值；（ⅱ）求該路燈照在路面上的寬度的長．

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