給出以下命題：
（1）若
∫
b
a
f(x)dx＞0，則f（x）＞0；  
（2）
∫
2π
-2π
sinx
e|x|
dx=0；
（3）應用微積分基本定理，有
∫
2
1
1
x
dx=F（2）-F（1），則F（x）=lnx；
（4）f（x）的原函數(shù)為F（x），且F（x）是以T為周期的函數(shù)，則
∫
a
0
f（x）dx=
∫
a+T
T
f（x）dx；
其中正確命題的為（　　）
A、（3），（4）
B、（1），（2）
C、（1），（4）
D、（2），（4）
考點：定積分
專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用,簡易邏輯
分析：由定積分的意義判斷（1）；由函數(shù)奇偶性的性質結合定積分的意義判斷（2）；
求出函數(shù)y=
1
x
的原函數(shù)判斷（3）；由定積分的計算結合函數(shù)的周期性判斷（4）．
解答： 解：對于（1），∵
∫
b
a
f(x)dx是數(shù)，由
∫
b
a
f(x)dx＞0，說明曲線y=f（x）與x=a，x=b及x軸所形成的封閉圖形的面積大于0，函數(shù)y=f（x）的圖象不一定都在x軸上方，命題（1）錯誤；  
對于（2），∵
sinx
e|x|
為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，
∴
∫
2π
-2π
sinx
e|x|
dx=0，命題（2）正確；
對于（3），根據(jù)函數(shù)導數(shù)運算性質，若F′（x）=
1
x
，應有  F（x）=lnx+c（c為常數(shù)），（3）錯誤；
對于（4），
∫
a
0
f（x）dx═F（a）-F（0），
∫
a+T
T
f（x）dx=F（a+T）-F（T）=F（a）-F（0），即命題（4）正確．
∴正確的命題是（2），（4）．
故選：D．
點評：本題考查了命題的真假判斷與運用，考查了定積分，考查了定積分的意義，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2x，-1＜x≤1
f(x-2)+1，1＜x≤3
，則函數(shù)g（x）=f（t）-2在區(qū)間（-1，3]上的零點個數(shù)是
（　�。�
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

二進制數(shù)111011（2）對應的十進制數(shù)
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，2B=A+C，a+
2
b=2c，求sinC．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a＜b，若函數(shù)f（x），g（x）滿足
∫
b
a
f(x)dx=
∫
b
a
g(x)dx，則稱f（x），g（x）為區(qū)間[a，b]上的一組“等積分”函數(shù)，給出四組函數(shù)：
①f（x）=2|x|，g（x）=x+1；       
②f（x）=sinx，g（x）=cosx；
③f(x)=
1-x2
，g(x)=
3
4
πx2；
④函數(shù)f（x），g（x）分別是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)且積分值存在．
其中為區(qū)間[-1，1]上的“等積分”函數(shù)的組數(shù)是（　　）
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

證明：f（x）=x+
1
x
在在區(qū)間（-∞，-1）上單調遞增．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f（x）=x+
a
a
（x＞0）．
（1）試用定義證明：f（x）在(
a
，+∞)上單調遞增；
（2）若x∈[1，3]時，不等式f（x）≥2恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cos2x-4sinx，則函數(shù)f（x）的最大值是（　�。�
A、4
B、3
C、5
D、
17

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=
9-x2
+
5
|x|-2
的定義域為
 
．

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