Question

已知橢圓上任一點P，由點P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點M在PQ上，且，點M的軌跡為C.

   （1）求曲線C的方程；

   （2）過點D（0，－2）作直線l與曲線C交于A、B兩點，設N是過點且以 為方向向量的直線上一動點，滿足（O為原點），問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在說明理由.

Answer 1

解：（1）設M（x，y）是曲線C上任一點，因為PM⊥x軸，，

所以點P的坐標為（x，3y）

    因為點P在橢圓上，

    所以，因此曲線C的方程是

   （2）當直線l的斜率不存在時，顯然不滿足條件

    所以設直線l的方程為y=kx－2與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N點所在直線方程為

    ，

    由，

    因為，所以四邊形OANB為平行四邊形，

    假設存在矩形OANB，則

    即，

    所以，

    設N（x₀，y₀），由，得

    ，即N點在直線，

    所以存在四邊形OANB為矩形，直線l的方程為。