已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，且BC=2AB=2AD=2，側面PAD為等邊三角形，PB=PC=數(shù)學公式．
（1）求證：PC⊥平面PAB；（2）求四棱錐P-ABCD的體積．

解：（1）證明：在等腰梯形ABCD中，AB=AD=1，BC=2，
∴∠ABC=60°，AC=，AC⊥AB．
在△PAC中，PA=1，AC=，PC=，∴PC⊥PA．
在△PBC中，∵PB=PC=，故 PB2+PC2=BC2，∴PC⊥PB．
又 PA∩PB=P，∴PC⊥面PAB．
（2）在等腰梯形ABCD中，易知 S△ADC：S△ABC=1：2，
∴VP-ABC=2VP-ADC，∴VP-ABCD=．
又 VP-ABC=VC-PAB=•AB•AP•PC==．
∴VP-ABCD===．
分析：（1）利用勾股定理證明 PC⊥PA，PC⊥PB，再利用直線與平面垂直的判定定理 證明 PC⊥面PAB．
（2）在等腰梯形ABCD中，易知 S△ADC：S△ABC=1：2，利用 VP-ABCD=，且 VP-ABC=VC-PAB，求得VP-ABCD的值．
點評：本題考查證明線面垂直的方法，直線與平面垂直的判定定理的應用，根據(jù)題意得到VP-ABCD=，且VP-ABC=VC-PAB，是解題的難點和關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點，F(xiàn)為AD的中點．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點M是四邊形ABCD內的一動點，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，側面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中點．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求證：PA⊥BD
（3）若二面角D-PA-O的余弦值為
10
5
，求PB的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E為BC中點，AE與BD交于O點，AB=BC=2CD=2，BD⊥PE．
（1）求證：平面PAE⊥平面ABCD； 
（2）若直線PA與平面ABCD所成角的正切值為
5
2
，PO=2，求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是線段PC上一點，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）若PA=4，AB=2，BC=1，求直線AC與平面PCD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年山東省濟寧一中高三（上）期末數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點，F(xiàn)為AD的中點．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點M是四邊形ABCD內的一動點，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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