已知定義域為R的函數(shù)f(x)=
1-2x2x+1+a
是奇函數(shù).
(1)求a的值;
(2)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
分析:(1)由奇函數(shù)的定義得f(1)=-f(-1),代入解析式求出a的值;
(2)根據(jù)奇函數(shù)的定義將不等式化為:f(t2-2t)<f(-2t2+k),再分離函數(shù)解析式,利用指數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)的單調(diào)性判斷出此函數(shù)的單調(diào)性,再列出關于x的不等式,由題意轉(zhuǎn)化為:3t2-2t-k>0恒成立,利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出等價不等式求解.
解答:解:(1)由f(x)是奇函數(shù)得,f(1)=-f(-1),
1-2
4+a
=-
1-
1
2
1+a
,解得a=2,
(2)∵f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,
∴f(t2-2t)<-f(2t2-k),
∵f(x)為奇函數(shù),
∴f(t2-2t)<f(-2t2+k)
由(1)得,
 f(x)=
1-2x
2x+1+2
=
-(2x+1)+2
2(2x+1)
=-
1
2
+
1
2x+1

∴f(x)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù),
∴t2-2t>-2t2+k,即3t2-2t-k>0恒成立,
∴△=4+12k<0,解得k<-
1
3
,
故k的取值范圍是(-∞,-
1
3
)
點評:本題主要考查了奇函數(shù)的定義的靈活應用,以及分離常數(shù)法,復合函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應用,二次函數(shù)的性質(zhì)的應用,較綜合,但難度不大.
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5
3
5
3

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已知定義域為R的函數(shù)f(x)=
-2x+a2x+1
是奇函數(shù)
(1)求a值;
(2)判斷并證明該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;
(4)設關于x的函數(shù)F(x)=f(4x-b)+f(-2x+1)有零點,求實數(shù)b的取值范圍.

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