Question

【題目】某省2016年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測試的原始成績采用百分制，發(fā)布成績使用等級制．各等級劃分標(biāo)準(zhǔn)如下：85分及以上，記為A等；分?jǐn)?shù)在[70，85）內(nèi)，記為B等；分?jǐn)?shù)在[60，70）內(nèi)，記為C等；60分以下，記為D等．同時認(rèn)定A，B，C為合格，D為不合格．已知某學(xué)校學(xué)生的原始成績均分布在[50，100]內(nèi)，為了了解該校學(xué)生的成績，抽取了50名學(xué)生的原始成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出樣本頻率分布直方圖如圖所示．

（Ⅰ）求圖中x的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該校學(xué)生學(xué)業(yè)水平測試的合格率；
（Ⅱ）在選取的樣本中，從70分以下的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，用X表示所抽取的3名學(xué)生中成績?yōu)镈等級的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可知，10x＋0.012×10＋0.056×10＋0.018×10＋0.010×10＝1，

∴x＝0.004．

∴合格率為1－10×0.004＝0.96．

（Ⅱ）樣本中C等級的學(xué)生人數(shù)為0.012×10×50＝6，

而D等級的學(xué)生人數(shù)為0.004×10×50＝2．

∴隨機(jī)抽取3人中，成績?yōu)镈等級的人數(shù)X的可能取值為0，1，2，

∴ ， ， ，

∴X的分布列為

x	0	1	2
P

數(shù)學(xué)期望

【解析】（Ⅰ）樣本中各類事件的頻率之和等于1，并注意縱坐標(biāo)表示的是頻率除以組距，因此在求頻率時需要乘以組距，由此可列等式10x＋0.012×10＋0.056×10＋0.018×10＋0.010×10＝1;
（Ⅱ）70分以下的學(xué)生包括C等級的學(xué)生和D等級的學(xué)生，并且樣本中某事件發(fā)生的總數(shù)為頻率乘以樣本總量，由此可求得樣本中C等級的學(xué)生人數(shù)為0.012×10×50＝6，而D等級的學(xué)生人數(shù)為0.004×10×50＝2，70分以下的學(xué)生人數(shù)為6+2=8人；從70分以下的學(xué)生中隨機(jī)抽取的3名學(xué)生中，成績?yōu)镈等級的人數(shù)可能為0、1、2,由此求出答案.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解頻率分布直方圖(頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息)．