Question

如圖是一個長方體截去一個角所得的多面體的直觀圖及它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖（單位：cm）．
（1）畫出該多面體的俯視圖；
（2）按照給出的尺寸，求該多面體的體積；
（3）在所給直觀圖中連接BC'，證明：BC'∥平面EFG．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征與它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖可得其側(cè)視圖．
（2）由題意可得：所求多面體體積V=V_長方體-V_正三棱錐．
（3）由原題可得：點G、F分別是正方形的中點，取B′C′與BB′的中點分別為K、H，所以KH∥BC′，即可得到BC′∥EG，根據(jù)線面平行的判斷定理可得線面平行．

解答：解：（1）如圖，俯視圖
（2）由題意可得：
所求多面體體積V=V_長方體-V_正三棱錐
=4×4×6-

1

3

×(

1

2

×2×2)×2
=

284

3

(cm3)．
（3）證明：由多面體的側(cè)（左）視圖可得：點G、F分別是正方形的中點，
取B′C′與BB′的中點分別為K、H，
所以KH∥BC′，
根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征可得：KH∥EG，
所以BC′∥EG，
因為EG?平面EFG，BC′?平面EFG，
所以BC'∥平面EFG．

點評：本題主要考查由三視圖求面積、體積，求解的關(guān)鍵是由視圖得出幾何體的長、寬、高等性質(zhì)，熟練掌握各種類型的幾何體求體積的公式；熟練掌握證明線面問題的有關(guān)定理．