Question

【題目】已知（）．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若不等式在時(shí)恒成立，求最小正整數(shù)，并給出證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）最小正整數(shù)等于5.

【解析】試題分析:（1）利用分析法證不等式:兩邊平方,整理轉(zhuǎn)化,再平方即得已知事實(shí)（2）先逐個(gè)代入驗(yàn)證并歸納猜想最小正整數(shù).再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明: 當(dāng)時(shí)，利用放縮及歸納假設(shè)得,即可證明

試題解析：證明：（Ⅰ）要證：

即證：

只需證：

即證：

只需證：

只需證：

上式顯然成立

不等式成立.

（Ⅱ）即

當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=，不等式不成立；

當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=，不等式不成立；

當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=，不等式不成立；

當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=，不等式不成立；

當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=，不等式成立；

當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=，不等式成立；

故猜想最小正整數(shù).

下面證明時(shí)成立：

證法一：（數(shù)學(xué)歸納法）

①當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=，不等式成立

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即,

則當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，顯然

故

即時(shí)不等式成立

綜上，不等式在時(shí)恒成立，且最小正整數(shù)等于5.

證法二：當(dāng)時(shí)，

由

得

即

所以，不等式在時(shí)恒成立，且最小正整數(shù)等于5.