Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，對一切n∈N^*，點（n，S_n）在函數f（x）=x²+x的圖象上．
（1）求a_n的表達式；
（2）設An為數列{

1	(an-1)(an+1)

}的前n項和，是否存在實數a，使得不等式A_n＜a對一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由；
（3）將數列{a_n}依次按1項，2項循環(huán)地分為（a₁），（a₂，a₃），（a₄），（a₅，a₆），（a₇），（a₈，a₉），（a₁₀），
…，分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為{b_n}，求b₁₀₀的值；
（4）如果將數列{a_n}依次按1項，2項，3項，4項循環(huán)；分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為{b_n}，提出同（3）類似的問題（（3）應當作為特例），并進行研究，你能得到什么樣的結論？

Answer 1

分析：（1）由點（n，S_n）在函數f（x）=x²+x的圖象上可得S_n=n²+2n利用遞推公式 an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

可求；
（2）根據（1）求出

1

(an-1)(an+1)

，利用裂項相消法求出A_n即可求出使得不等式A_n＜a對一切n∈N^*都成立的a；
（3）由分組規(guī)律知，b₂，b₄，b₆，…b₁₀₀組成首項為b₂=4+6=10，公差d=12的等差數列，利用等差數列的通項公式可求；
（4）根據題意，舉特例當n是4的整數倍時，求b_n的值．根據依次按1項，2項，3項，4項循環(huán)，可知數列{a_n}依次按1項、2項、3項、4項循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12）；（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…，根據它們的特點即可求得結果．

解答：解：（1）∵點（n，S_n）在函數f（x）=x²+x的圖象上，
∴S_n=n²+n．
a₁=S₁=2，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n（n=1時也成立）．
∴a_n=2n（n∈N^*）．
（2）An=

1

(a1-1)(a1+1)

+

1

(a2-1)(a2+1)

+…+

1

(an-1)(an+1)

=

1

1•3

+

1

3•5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．
依題意，只要a≥

1

2

即可，故a的取值范圍是[

1

2

，+∞)．
（3）數列{a_n}依次按1項，2項循環(huán)地分為（2），（4，6），（8），（10，12）；（14），（16，18）；（20），…，每一次循環(huán)記為一組．由于每一個循環(huán)含有2個括號，故b₁₀₀是第50組中第2個括號內各數之和．
由分組規(guī)律知，b₂，b₄，b₆，…，b₁₀₀，…組成一個首項b₂=4+6=10，公差d=12
的等差數列． 
所以b₁₀₀=10+（50-1）×12=598．
（4）當n是4的整數倍時，求b_n的值．
數列{a_n}依次按1項、2項、3項、4項循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12）；（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…
第4組，第8組，…，第4k（k∈N^*）組的第1個數，第2個 數，…，第4個數分別組成一個等差數列，
其首項分別為14，16，18，20．公差均為20． 
則第4組，第8組，…，第4k組的各數之和也組成一個等差數列，
其公差為80．  
且b₄=14+16+18+20=68．
當n=4k時，b_n=68+80（k-1）=20n-12．

點評：本題主要考查了利用遞推公式 an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

求數列的通項公式，注意不要漏掉對n=1的檢驗
，以及裂項相消求和法，還考查了等差數列的通項公式的應用，同時考查運算能力，屬中檔題．