Question

已知函數(shù)f（x）=

x+a

x2+1

是R上的奇函數(shù)
（1）求a的值；
（2）用定義證明該函數(shù)在[1，+∞）上的單調(diào)性，并求當(dāng)x∈[2，5]的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)是奇函數(shù)，由f（0）=0即可得到a的值．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x+a

x2+1

是R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
即a=0，
此時f（x）=

x

x2+1

是奇函數(shù)．
（2）設(shè)x₁，x₂，是[1，+∞）上的任意兩個數(shù)，且1≤x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

x1

x 2 1 +1

-

x2

x 2 2 +1

=

(x2-x1)(x1x2-1)

( x 2 1 +1)( x 2 2 +1)

，
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＞0，
即f（x₁）-f（x₂）=

(x2-x1)(x1x2-1)

( x 2 1 +1)( x 2 2 +1)

＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，
f（x₁）＞f（x₂），即函數(shù)是減函數(shù)．
∴當(dāng)x∈[2，5]時，函數(shù)的最大值為f（2）=

2

22+1

=

2

5

，
函數(shù)的最小值為f（5）=

5

25+1

=

5

26

．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．