(1)求證:AE⊥平面BCE;
(2)求二面角B-AC-E的大。
(3)求點D到平面ACE的距離.
解法一:(1)證明:∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE.?
∵二面角DABE為直二面角,且CB⊥AB,∴CB⊥平面ABE.?
∴CB⊥AE.?
∴AE⊥平面BCE.?
(2)連結BD交AC于G,連結FG,?
∵正方形ABCD邊長為2,?
∴BG⊥AC,BG=.?
∵BF⊥平面ACE,?
由三垂線定理的逆定理得FG⊥AC,?
∴∠BGF是二面角B-AC-E的平面角.?
由(1)AE⊥平面BCE,?
又∵AE=EB,?
∴在等腰直角三角形AEB中,BE=.?
又∵直角△BCE中,,BF=,?
∴直角△BFG中,sin∠BGF=.?
∴二面角B-AC-E等于arcsin.?
(3)過點E作EO⊥AB交AB于點O,OE=1.?
∵二面角D-AB-E為直二面角,?
∴EO⊥平面ABCD.?
設D到平面ACE的距離為h,?
∵VD—ACE=VE—ACD?,?
∴S△ACB?•h=S△ACD?•EO.?
∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥EC.?
∴h=.?
∴點D到平面ACE的距離為.?
解法二:(1)同解法一.?
(2)以線段AB的中點為原點O,OE所在直線為x軸,AB所在直線為y軸,過O點且平行于AD的直線為z軸,建立空間直角坐標系O—xyz,如圖.?
?
∵AE⊥面BCE,BE面BCE,?
∴AE⊥BE.?
在Rt△AEB中,AB=2,O為AB的中點,∴OE=1.?
∴A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).?
=(1,1,0),=(0,2,2).?
設平面AEC的一個法向量為n=(x,y,z),?
則即解得
令x=1,得n=(1,-1,1)是平面AEC的一個法向量.?
又平面BAC的一個法向量為m=(1,0,0),?
∴cos〈m,n〉=.?
∴二面角B-AC-E的大小為arccos.?
(3)∵AD∥z軸,AD=2,?
∴=(0,0,2).?
∴點D到平面ACE的距離?
d=|||cos〈,n〉|=?
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